{"id":285,"date":"2016-11-09T15:12:54","date_gmt":"2016-11-09T14:12:54","guid":{"rendered":"https:\/\/edulab.unitn.it\/dicomat\/?page_id=285"},"modified":"2021-05-25T10:27:46","modified_gmt":"2021-05-25T08:27:46","slug":"la-proprieta-tautocrona","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/edulab.unitn.it\/dicomat\/geometria-ss-ii-g\/la-cicloide\/la-proprieta-tautocrona\/","title":{"rendered":"La propriet\u00e0 tautocrona"},"content":{"rendered":"
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La curva tale che un punto pesante che la percorre nel vuoto arriva alla sua posizione pi\u00f9 bassa nel medesimo tempo qualunque sia il punto da cui si diparte \u00e8 una cicloide ordinaria a base orizzontale concava verso l’alto.<\/em><\/strong>
\n– Huygens, Horolugium Oscillatorium, 1673 –<\/em><\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n

La cicloide \u00e8 tautocrona<\/strong><\/h4>\n

Un’altra interessante propriet\u00e0 della cicloide \u00e8 la tautocronia. Tale propriet\u00e0 \u00e8 facilmente verificabile sperimentalmente<\/strong>, grazie alla cicloide in legno. Basta posizionare due biglie ad altezze diverse lungo la curva, e lasciarle nello stesso istante. I ragazzi scopriranno (con molto stupore!) che anche se le altezze di partenza sono molto diverse, le biglie arrivano nel punto pi\u00f9 basso della curva contemporaneamente.<\/p>\n

\"g12\"<\/p>\n

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Applicazione: il pendolo cicloidale<\/strong><\/h4>\n

Il pendolo “classico”, cio\u00e8 quello circolare, \u00e8 isocrono solo nel caso di piccole oscillazioni. \u00a0La propriet\u00e0 tautocrona della cicloide pu\u00f2 essere sfruttata per costruire un pendolo perfettamente isocrono<\/strong>, cio\u00e8 tale che il periodo di oscillazione non dipende dall’ampiezza delle oscillazioni<\/strong>. Un pendolo cicloidale, cio\u00e8 il cui peso percorre una traiettoria cicloidale, \u00e8 dunque idealmente migliore di un pendolo circolare.<\/p>\n

Come costruire un pendolo cicloidale? Il seguente oggetto in legno mostra il funzionamento di un pendolo cicloidale:<\/p>\n

\u00a0\"g15\"<\/p>\n

Esso \u00e8 costituito da un profilo a forma di due archi di cicloide, tra i quali \u00e8 vincolato il filo del pendolo. Il filo deve avere lunghezza pari a 4R, dove R indica il raggio della circonferenza che genera le cicloidi in legno. All’estremit\u00e0 libera del filo \u00e8 attaccata una piccola matita: muovendo il filo tra i due archi di cicloide la matita traccia una curva. Sovrapponendo il profilo cicloidale in legno alla traccia lasciata dalla matita si verifica che la traiettoria della matita \u00e8 una cicloide uguale a quelle del profilo in legno. Questa evidenza sperimentale<\/strong>, unitamente alla propriet\u00e0 tautocrona della cicloide, permettono di concludere che il pendolo cicloidale \u00e8 perfettamente isocrono.<\/p>\n

Tuttavia \u00e8 bene far presente ai ragazzi il fatto che nella realt\u00e0 il pendolo cicloidale non viene utilizzato a causa di errori dovuti all’attrito del filo, e si preferisce utilizzare il pendolo circolare con piccole oscillazioni.<\/p>\n

Il funzionamento del pendolo cicloidale sfrutta un’altra notevole propriet\u00e0 della cicloide: l’evoluta<\/strong> di una cicloide \u00e8 ancora una cicloide. Nel pendolo cicloidale la traiettoria del peso del pendolo rappresenta la cicloide di partenza e il profilo cicloidale in legno la sua evoluta.<\/p>\n

Si pu\u00f2 dimostrare anche col calcolo che la traiettoria del peso di un pendolo cicloidale \u00e8 una cicloide (vedi file “Propriet\u00e0 tautocrona e applicazioni” nell’approfondimento per il docente).<\/p>\n

L’unico punto difficile della dimostrazione (per uno studente di liceo) \u00e8 rappresentato dal calcolo della lunghezza della parte di filo che non aderisce al profilo cicloidale, che richiede l’uso degli integrali. Il software seguente \u00e8 stato creato per evitare di calcolare l’integrale in questione.<\/p>\n

Link al\u00a0file GeoGebra “Pendolo cicloidale”:\u00a0https:\/\/www.geogebra.org\/m\/ShSJh3re<\/a><\/p>\n

e descrizione del software: Software pendolo<\/a><\/p>\n

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Approfondimenti per il docente<\/strong><\/h4>\n

Proponiamo il seguente file per il docente, che contiene: la dimostrazione rigorosa che la cicloide \u00e8 tautocrona, il ragionamento che port\u00f2 Huygens a scoprire tale propriet\u00e0, la dimostrazione rigorosa che la traiettoria del peso di un pendolo cicloidale \u00e8 una cicloide e degli approfondimenti sul concetto di evoluta.<\/p>\n

Scarica il file: Propriet\u00e0 tautocrona e applicazioni<\/a><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

La curva tale che un punto pesante che la percorre nel vuoto arriva alla sua posizione pi\u00f9 bassa nel medesimo tempo qualunque sia il punto da cui si diparte \u00e8 una cicloide ordinaria a base orizzontale concava verso l’alto. – Huygens, Horolugium Oscillatorium, 1673 – La cicloide \u00e8 tautocrona Un’altra interessante propriet\u00e0 della cicloide \u00e8 … Continua a leggere La propriet\u00e0 tautocrona<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":878,"featured_media":0,"parent":408,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"","meta":{"footnotes":""},"class_list":["post-285","page","type-page","status-publish","hentry"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/edulab.unitn.it\/dicomat\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/285","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/edulab.unitn.it\/dicomat\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/edulab.unitn.it\/dicomat\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/edulab.unitn.it\/dicomat\/wp-json\/wp\/v2\/users\/878"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/edulab.unitn.it\/dicomat\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=285"}],"version-history":[{"count":23,"href":"https:\/\/edulab.unitn.it\/dicomat\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/285\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":2129,"href":"https:\/\/edulab.unitn.it\/dicomat\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/285\/revisions\/2129"}],"up":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/edulab.unitn.it\/dicomat\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/408"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/edulab.unitn.it\/dicomat\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=285"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}