L’ipertesto è costituito da materiali per la realizzazione di percorsi didattici sul tema della probabilità per il primo e il secondo biennio della scuola secondaria di secondo grado; comunque fornisce notevoli spunti anche per la secondaria di primo grado.
Precisamente il lavoro è composto da:
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- descrizioni motivate di attività didattiche, corredate da tracce di lavoro per lo studente; esse prevedono il ricorso a semplici oggetti materiali oppure a strumenti informatici;
- esercizi completamente risolti;
- esame degli aspetti da affrontare in classe e loro declinazione in una forma adeguata per il primo biennio;
- indicazioni bibliografiche e sitografiche, tra cui brevi video didattici.
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- Il progetto ha origine da un laboratorio realizzato nell’ambito del Progetto Lauree Scientifiche di Trento ed è stato sviluppato, con il coordinamento del DiCoMat Lab (Dott.ssa Elisabetta Ossanna), mediante la collaborazione tra docenti di scuola secondaria e docenti universitari. I materiali qui proposti sono stati realizzati da Francesca Mazzini e Luciano Cappello e sono stati sperimentati in diverse classi. Infine la pubblicazione dei materiali nel sito è stata curata dalla dott.ssa Erica Scapin.
Indice
0. Introduzione
2. I numeri del caso… valutazioni di probabilità
3. La probabilità alla prova… esperimenti e simulazioni
5. Pensare in termini elementari… legge della moltiplicazione
6. Probabilità di eventi che dipendono da altri
Per iniziare, nel capitolo 1 prospettiamo alcuni contesti motivanti per gli studenti: giochi d’azzardo; alcol test, test antidoping e test clinici; numeri ritardatari al gioco del Lotto e compensazione, misconcetti; casi giudiziari; approfondimenti dalla genetica e dalla storia… Le situazioni saranno introdotte mediante domande-stimolo cui si risponderà solo nel seguito del percorso, dopo aver sviluppato gli strumenti matematici che consentono di esaminarle razionalmente. Dunque, in sintesi: prima l’esplorazione e poi la formalizzazione.
Con il capitolo 2, in un certo senso, iniziamo a mettere un po’ di ordine nel caso: discuteremo infatti come attribuire ad eventi specifici un numero che esprima sinteticamente il “grado di fiducia” riposto nel loro verificarsi. Ciò non significa che l’obiettivo principale della sezione sia l’introduzione di formule, quali il noto rapporto che sintetizza l’approccio classico alla probabilità. Piuttosto ci occuperemo di costruire semplici modelli matematici di situazioni regolate dal caso e ci accorgeremo che per farlo si devono prendere decisioni; vedremo, ad esempio, come l’equiprobabilità dell’uscita di ciascuna faccia nel lancio di dado non si possa liquidare frettolosamente quale verità oggettiva. Rifletteremo inoltre sull’importanza di stimare il valore di probabilità ottenuto, o meglio, di cogliere “quanto sia grande” tale numero, anche attraverso istruttive attività specifiche.
Ma, qual è il significato dei valori di probabilità ottenuti? In altri termini, cosa succede “nella pratica”, ad esempio quando si lanciano due dadi? Investigheremo tali questioni nel capitolo 3, attraverso esperimenti materiali e simulazioni mediante il foglio elettronico. Attenzione però: se discutiamo l’approccio teorico e le prove in sezioni distinte, è solo per ragioni di chiarezza espositiva, mentre nell’attività didattica pensiamo che essi vadano integrati strettamente, così da arricchirsi a vicenda. In questo contesto sembra naturale privilegiare le modalità didattiche fondate sull’esplorazione. Esse, da una parte prevedono la piena attivazione dello studente, ma dall’altra comportano la consapevole assunzione di responsabilità per il docente che deve guidare la classe a interpretare gli esiti, in modo che la matematica non resti “negli occhi di chi guarda”. Ecco la ragione per cui nella sezione proponiamo un’analisi dettagliata di tali aspetti.
Gli strumenti matematici introdotti permettono di esaminare i giochi d’azzardo in modo razionale, come faremo nel capitolo 4. Il contesto offre anche un’ottima occasione per “contare” gli elementi di un insieme, attività che sui libri di testo è spesso indicata come “calcolo combinatorio”, e che noi approcciamo evitando accuratamente di trasformarla in applicazione meccanica di formule, senza l’angoscia di dover classificare ad ogni costo. L’approccio razionale che seguiamo ci porterà ad introdurre il concetto di gioco equo, a esaminarne gli aspetti quantitativi nonché il significato statistico e la portata per effettuare previsioni. Tra l’altro, gli studenti hanno così modo di prendere confidenza con un esempio notevole di valore atteso di una variabile aleatoria.
L’analisi condotta sui giochi d’azzardo consente di rispondere ad alcuni dei quesiti posti nei capitoli precedenti, tuttavia restano ancora aperte delle questioni significative, come quelle relative ai test clinici e ai misconcetti. Le affronteremo nel capitolo 5, dopo aver mostrato come esprimere e pensare l’evento in termini più elementari permetta di trattare agevolmente situazioni articolate. Considereremo pertanto la probabilità dell’evento complementare, porteremo lo studente a formulare la Legge della moltiplicazione, a interpretarla su modelli grafici e a giustificarla mediante un’analogia; al docente riserveremo invece alcuni approfondimenti più formali che chiariscono il ruolo di tale risultato. Non assegneremo un ruolo speciale ad altri risultati, quali la formula che esprime la probabilità dell’evento unione in termini delle probabilità dei singoli eventi, nota anche come teorema della probabilità totale. E non proporremo nemmeno un uso massiccio di termini specifici, per evitare che il significato profondo degli oggetti matematici resti soffocato sotto la superficie dei nomi. Piuttosto l’interesse didattico in questo ambito risiede nella possibilità di utilizzare varie forme di rappresentazione e di sviluppare l’abilità di passare consapevolmente da una all’altra: la notazione simbolica del linguaggio degli insiemi, la rappresentazione grafica mediante i diagrammi di Eulero-Venn, il linguaggio naturale (in particolare le congiunzioni “e”, “o”), il linguaggio della logica …
Agli studenti dovrebbe essere lasciato il tempo di sviluppare una certa confidenza nell’uso della Legge della moltiplicazione, senza preoccuparsi troppo di attribuire alle coppie di eventi il marchio di indipendenti o quello di dipendenti. Si passerà alla precisazione formale solo quando sarà avvertita l’esigenza (dello studente, non del docente) di esprimersi in modo univoco, coinciso ed espressivo, superando i limiti imposti dal linguaggio naturale. Ecco allora che nel capitolo 6 guarderemo in modo più formale alla probabilità che dipende da altre. In questo contesto condurremo gli studenti a reinventare la definizione di probabilità condizionata, a partire dal suo significato nell’approccio classico. E, proseguendo su questa strada, arriveremo a ricavare la formula di Bayes attraverso opportune rappresentazioni grafiche, mediante le quali sarà poi più facile ricostruirla volta per volta, anche a lungo termine. Mentre i primi cinque capitoli possono essere affrontati nel primo biennio, per il sesto capitolo conviene attendere il secondo biennio.
NOTA: Nel corso della navigazione il simbolo * indica paragrafi (di approfondimento) che possono o meno essere affrontati senza che ciò pregiudichi lo sviluppo del percorso.
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