Pensare in termini elementari… legge della moltiplicazione
Nei capitoli precedenti abbiamo discusso e risolto vari problemi, interpretando spesso la situazione mediante lo schema classico, e valutando dunque la probabilità come rapporto tra il numero dei casi “favorevoli” e quello dei “casi possibili”. Gli strumenti probabilistici introdotti si sono rivelati dunque efficaci; ma non bastano per interpretare situazioni più articolate.
È dunque per arricchire il Percorso che introdurremo in questo capitolo la legge della moltiplicazione e fisseremo l’attenzione sulla probabilità dell’evento complementare.
L’idea sottesa agli strumenti matematici che ci apprestiamo ad introdurre è di interpretare gli eventi in termini di eventi più elementari, dei quali sia più semplice valutare la probabilità. Proprio allo sviluppo di questa abilità interpretativa daremo rilevanza, perché in essa e nell’abilità di esprimere gli eventi mediante registri diversi, prima che nei risultati, risiede la valenza didattica delle attività che proporremo nel capitolo.
5.1 Unione
L’idea è di iniziare con la discussione di una semplice situazione, come quella che segue…
| Se alla roulette punto su un numero pari o nero, qual è la probabilità che io vinca? |
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5.2 Complementare
Si prosegue con l’esplorazione di una situazione motivante…
| Lanciamo tre dadi “onesti” che hanno le facce numerate da 1 a 6. Qual è la probabilità che il punteggio (somma dei tre numeri usciti) sia almeno “5”? |
Gli studenti si dovrebbero presto accorgere che vi sono molti casi da esaminare e raccogliere così il suggerimento di considerare l’evento complementare.
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5.3 Legge della moltiplicazione
Al solito, preferiamo motivare l’introduzione della legge della moltiplicazione mediante la discussione di problemi, quali la valutazione della probabilità d’errore di un test diagnostico. Comunque per costruire il risultato lavoreremo in un contesto più elementare, quello delle estrazioni da un’urna, che può modellizzare quasi tutte le situazioni in cui interviene la probabilità nel primo biennio della scuola secondaria di secondo grado.
Aspetti affrontati
- Un problema modello: l’urna con reinserimento
- Un ulteriore problema modello: l’urna senza reinserimento
- Un’altra giustificazione della Legge *
- Legge della moltiplicazione – Facciamo il punto
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5.4 Alcune osservazioni per il docente
La sezione è rivolta al docente e approfondisce vari aspetti introdotti nel paragrafo precedente, sia dal punto di vista epistemologico che didattico. L’intento è di fornire elementi per operare scelte consapevoli e interpretare criticamente quanto propongono i libri di testo.
Aspetti affrontati
- Indipendenza tra eventi
- La notazione p(A|B)
- Come applicare la legge della moltiplicazione?
- La formula p(B) · p(A|B) = p (A ∩ B)
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5.5 Consolidamento
Prima di affrontare questioni più impegnative è opportuno che gli studenti sviluppino abilità operative. Pertanto proponiamo alcuni quesiti significati e una loro risoluzione completa.
Aspetti affrontati
- Problema degli interruttori
- Problema dei cacciatori
- Problema delle lampadine
- Problema del quadrigetto
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5.6 Torniamo ai problemi iniziali
A questo punto gli studenti dovrebbero disporre degli strumenti matematici per rispondere alle questioni proposte all’inizio del percorso nonché per esaminarle criticamente. La risoluzione è accompagnata da commenti, video, esplorazioni con il software… per favorire una comprensione più profonda delle situazioni esaminate e permettere così ai ragazzi di prendere decisioni consapevoli.
Aspetti affrontati
- Regolarità
- Compensazione
- Numeri ritardatari
- Test clinici
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5.7 Contesti significativi
Gli strumenti matematici introdotti nei paragrafi precedenti, in particolare la legge della moltiplicazione, permettono di esaminare criticamente le situazioni interessanti che proponiamo di seguito. D’altra parte, tali attività consentono di chiarire ulteriormente il significato e la portata dei nuovi oggetti matematici.
Aspetti affrontati
- Il daltonismo
- Un caso giudiziario diventato un classico
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5.8 Un punto d’arrivo: il problema dei compleanni
E’ un problema classico che costituisce un punto d’arrivo per il percorso di probabilità nel biennio. Una sua formulazione è la seguente.
| Ti trovi ad una festa a cui partecipano 23 persone. Qual è la probabilità che almeno due tra esse compiano gli anni in uno stesso giorno (anche se sono nate in anni diversi)? |
Aspetti affrontati
- Prima alcuni esperimenti
- La risoluzione
- Le ipotesi: la distribuzione delle nascite secondo l’Istat
- Perché la probabilità è “grande”?
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Appendice
Si riportano i materiali a cui si fa riferimento nel testo del paragrafo: alcuni esercizi, il testo di quesiti significativi e alcune attività per gli studenti.
Aspetti affrontati
- Eventi non elementari
- Legge della moltiplicazione
- Attività: compensazione nel lancio di una moneta
- Test gravidanza
- Probabilità e genetica: daltonismo
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I materiali del capitolo 5
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