| La curva tale che un punto pesante che la percorre nel vuoto arriva alla sua posizione più bassa nel medesimo tempo qualunque sia il punto da cui si diparte è una cicloide ordinaria a base orizzontale concava verso l’alto. – Huygens, Horolugium Oscillatorium, 1673 – |
La cicloide è tautocrona
Un’altra interessante proprietà della cicloide è la tautocronia. Tale proprietà è facilmente verificabile sperimentalmente, grazie alla cicloide in legno. Basta posizionare due biglie ad altezze diverse lungo la curva, e lasciarle nello stesso istante. I ragazzi scopriranno (con molto stupore!) che anche se le altezze di partenza sono molto diverse, le biglie arrivano nel punto più basso della curva contemporaneamente.
Applicazione: il pendolo cicloidale
Il pendolo “classico”, cioè quello circolare, è isocrono solo nel caso di piccole oscillazioni. La proprietà tautocrona della cicloide può essere sfruttata per costruire un pendolo perfettamente isocrono, cioè tale che il periodo di oscillazione non dipende dall’ampiezza delle oscillazioni. Un pendolo cicloidale, cioè il cui peso percorre una traiettoria cicloidale, è dunque idealmente migliore di un pendolo circolare.
Come costruire un pendolo cicloidale? Il seguente oggetto in legno mostra il funzionamento di un pendolo cicloidale:
Esso è costituito da un profilo a forma di due archi di cicloide, tra i quali è vincolato il filo del pendolo. Il filo deve avere lunghezza pari a 4R, dove R indica il raggio della circonferenza che genera le cicloidi in legno. All’estremità libera del filo è attaccata una piccola matita: muovendo il filo tra i due archi di cicloide la matita traccia una curva. Sovrapponendo il profilo cicloidale in legno alla traccia lasciata dalla matita si verifica che la traiettoria della matita è una cicloide uguale a quelle del profilo in legno. Questa evidenza sperimentale, unitamente alla proprietà tautocrona della cicloide, permettono di concludere che il pendolo cicloidale è perfettamente isocrono.
Tuttavia è bene far presente ai ragazzi il fatto che nella realtà il pendolo cicloidale non viene utilizzato a causa di errori dovuti all’attrito del filo, e si preferisce utilizzare il pendolo circolare con piccole oscillazioni.
Il funzionamento del pendolo cicloidale sfrutta un’altra notevole proprietà della cicloide: l’evoluta di una cicloide è ancora una cicloide. Nel pendolo cicloidale la traiettoria del peso del pendolo rappresenta la cicloide di partenza e il profilo cicloidale in legno la sua evoluta.
Si può dimostrare anche col calcolo che la traiettoria del peso di un pendolo cicloidale è una cicloide (vedi file “Proprietà tautocrona e applicazioni” nell’approfondimento per il docente).
L’unico punto difficile della dimostrazione (per uno studente di liceo) è rappresentato dal calcolo della lunghezza della parte di filo che non aderisce al profilo cicloidale, che richiede l’uso degli integrali. Il software seguente è stato creato per evitare di calcolare l’integrale in questione.
Link al file GeoGebra “Pendolo cicloidale”: https://www.geogebra.org/m/ShSJh3re
e descrizione del software: Software pendolo
Approfondimenti per il docente
Proponiamo il seguente file per il docente, che contiene: la dimostrazione rigorosa che la cicloide è tautocrona, il ragionamento che portò Huygens a scoprire tale proprietà, la dimostrazione rigorosa che la traiettoria del peso di un pendolo cicloidale è una cicloide e degli approfondimenti sul concetto di evoluta.
Scarica il file: Proprietà tautocrona e applicazioni