“La chiave per comprendere la casualità, e
tutta la matematica, è proprio il fatto di
non saper intuire all’istante la risposta a
ogni problema: l’importante è possedere gli
strumenti per dedurre la risposta.”
Mlodinow L.
Presentazione
Come tesi di laurea magistrale in matematica (anno accademico 2015-16) ho ideato e discusso un percorso didattico per la classe quinta del Liceo Scientifico riguardante la distribuzione di Poisson. Il lavoro di tesi non sarebbe stato lo stesso senza la guida del mio relatore, Prof. Stefano Bonaccorsi e del mio correlatore, Prof. Luciano Cappello. L’obiettivo di questo sito è quello di condividere e mettere a disposizione il percorso e i materiali didattici realizzati per i docenti che li volessero proporre in classe.
L’intero progetto ha sullo sfondo il corso di formazione per docenti “Didattica della probabilità per la secondaria di secondo grado”, organizzato nell’anno scolastico 2015-16 dal Laboratorio di Didattica e Comunicazione della Matematica dell’Università degli Studi di Trento (DiCoMat Lab), in collaborazione con l’Istituto Provinciale per la Ricerca e la Sperimentazione Educativa (Iprase).
Ma l’esperienza più significativa che mi ha personalmente coinvolta durante il lavoro di tesi è stata la sperimentazione in classe del percorso, presso il Liceo “G.B. Brocchi” di Bassano del Grappa (VI) ed altri Licei veneti e trentini, in quest’ambito ho rivestito nel contempo il ruolo di ricercatrice e di docente.
I materiali realizzati a supporto delle attività didattiche sono orientati all’attività autonoma dello studente. Di conseguenza il software GeoGebra e soprattutto i video didattici sono gli strumenti adeguati allo scopo. In particolare, i filmati didattici rappresentano un mezzo innovativo dalle enormi potenzialità formative, grazie anche alla ricchezza dei registri comunicativi che utilizzano; del resto essi catturano l’interesse degli studenti e sono vicini alla loro sensibilità.
Erica Scapin
Un percorso didattico
Di seguito illustriamo sinteticamente lo sviluppo del percorso didattico che abbiamo ideato sulla distribuzione di Poisson.
Situazioni motivanti
Pensiamo sia efficace introdurre la distribuzione di Poisson come uno strumento matematico che consente di modellizzare situazioni caratterizzare da eventi “rari”: l’arrivo di una telefonata in un intervallo di tempo breve (5 secondi) al centralino di una piccola azienda, l’emissione radioattiva, fare “6” al SuperEnalotto…
Informalmente con “rari” intendiamo che tali eventi accadono “poche” volte rispetto al numero di prove che si considerano. In questi contesti ci poniamo un problema di conteggio: determinare la probabilità che in un intervallo fissato l’evento in esame (la telefonata, l’emissione,…) accada un certo numero di volte.
Il modello binomiale
In un primo momento preferiamo rappresentare la situazione mediante un opportuno modello binomiale, con il quale gli studenti dovrebbero avere già confidenza. I limiti di tale rappresentazione dovrebbero poi far nascere l’esigenza di costruire un modello più efficiente dal punto di vista computazionale e più espressivo, cioè che dipenda dal parametro che caratterizza la situazione: il numero medio di realizzazioni dell’evento nell’intervallo fissato.
Un nuovo modello
L’idea è di considerare il limite della distribuzione binomiale quando il numero di prove tende all’infinito, in opportune ipotesi. La formalizzazione di tale costruzione è un significativo esercizio sui limiti, che presentiamo come attività guidata per il lavoro autonomo dello studente, ma che può essere omessa senza per questo precludere la comprensione di quanto segue.
La distribuzione di Poisson
Abbiamo così ottenuto l’espressione analitica di una nuova distribuzione di probabilità che si indica come distribuzione di Poisson o come “legge dei piccoli numeri”. Essa dipende da un parametro che ha il significato di numero medio di realizzazioni dell’evento nell’intervallo considerato. Data la sua importanza merita investigarne ulteriormente il significato mediante attività laboratoriali che ne evidenzieranno la portata geometrica ed il legame con gli indici della distribuzione.
Non solo calcoli
Prima di proseguire con attività più impegnative è opportuno che gli studenti sappiano operare con sicurezza con la distribuzione di Poisson. Pertanto proponiamo alcune questioni di consolidamento: quesiti dall’Esame di Stato, rappresentazione di situazioni reali ed esercizi teorici. Del resto tale attività è strutturata in modo da favorire lo sviluppo di abilità/competenze quali l’interpretazione del testo, il passaggio da una forma di rappresentazione all’altra, l’argomentazione, l’autovalutazione…
Applicazioni
Ancora più rilevante dal punto di vista didattico è la discussione di alcune applicazioni dello schema di Poisson in contesti più articolati, quali il lancio di bombe su Londra durante la Seconda Guerra Mondiale, l’esperimento storico di Rutherford sull’emissione radioattiva o il numero di vincitori al SuperEnalotto.
Infatti, in tali ambiti, il modello consente di effettuare previsioni oppure di fare
affermazioni significative; ad esempio permette di dire che il bombardamento su
Londra non è stato necessariamente mirato oppure che è plausibile che le emissioni radioattive siano casuali e “uniformi”.
Indici della distribuzione
Il legame tra la distribuzione binomiale e quella di Poisson viene ancora sfruttato in un’ultima attività esplorativa: la determinazione degli indici della distribuzione di Poisson. Questi si possono ottenere come limite dei corrispondenti indici della binomiale mediante l’attività interattiva proposta.
| Ad ogni sezione del percorso è dedicata una pagina in cui si possono trovare: le modalità d’uso per cui è stato ideato il materiale, i link per scaricare i singoli materiali, una breve anteprima del materiale, un riquadro di download riassuntivo da cui scaricare il materiale complessivo della sezione e un approfondimento per il docente che tratta sia aspetti didattici che teorici rispetto al tema in esame. |
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