| Una particella è vincolata a muoversi, sotto l’azione della sola forza di gravità, da un punto A a un punto B (più basso). Trovare il percorso per il quale la particella si muova da A a B nel minor tempo possibile, nell’ipotesi che la velocità iniziale in A sia nulla. – Johann Bernoulli, Acta Eruditorum, 1696 – |
La risoluzione di Johann Bernoulli
La strategia risolutiva del problema della brachistocrona dovuta a Johann Bernoulli è la più semplice e quindi riproponibile in una classe del triennio della Scuola Secondaria di Secondo grado. La risoluzione di Bernoulli viene illustrata nel seguente file, che riporta la relazione di una lezione tenuta dal professore Silvano Delladio presso il Liceo Scientifico Galileo Galilei di Trento.
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La risoluzione di Bernoulli è stata poi proposta in forma laboratoriale attraverso l’uso di oggetti fisici e del software GeoGebra. Il laboratorio si svolge seguendo gli step principali della strategia risolutiva di Bernoulli:
Proponiamo di seguito un modello di svolgimento di questa attività laboratoriale, riportando la descrizione del laboratorio sulla brachistocrona svolto presso il Dipartimento di Matematica dell’Università di Trento e tenuto dal professore Silvano Delladio e da me.
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La risoluzione variazionale
Il problema della brachistocrona, posto da Johann Bernoulli nel 1696, venne accolto con grande entusiasmo dalla comunità dei matematici. Esso risultava particolarmente innovativo poiché, a differenza dei problemi trattati fino ad allora col calcolo differenziale, in questo caso la quantità da minimizzare, cioè il tempo, non dipendeva da una o più variabili ma dall’intera curva. I successivi 300 anni di studi e ricerche sottolineano la particolare natura del problem, che diede di fatto inizio a un nuovo ramo della matematica: il calcolo delle variazioni.
Proponiamo dunque un approfondimento per il docente in cui viene illustrata la risoluzione variazionale del problema.
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